\chapter{Elettromagnetismo}

\section{Richiami}

In questo paragrafo studieremo le variazioni del campo elettrostatico
tra due conduttori quando lo spazio tra di essi viene riempito, in parte
o tutto, da un \emph{materiale isolante} o \emph{dielettrico}.
Studieremo, in oltre, come si comporta il materiale quando \`e
sottoposto al campo elettrostatico.

Ricordiamo il caso di due cariche puntiformi di cariche $q_1$ e $q_2$ la
forza tra le due vale
\begin{equation}
\vec{F} = \frac{q_1 \, q_2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \, \hat{r}= q_1
\vec{E}_2
\end{equation}
dove il campo elettrico della carica $q_2$ \`e dato da
\begin{equation}
\vec{E}_2 = \frac{q_2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \, \hat{r}\end{equation}

Mentre la differenza di potenziale \`e data da
\begin{equation}
\Delta V = \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} = V_A - V_B 
\end{equation}
dove l'integrale non dipende dal particolare percorso che collega la carica
nel punto $A$ alla carica nel punto $B$, ci\`o comporta che
\begin{equation}
\vec{E} = - \vec{\nabla} \vec{V}(r)
\end{equation}
ed equivale a dire che il campo \`e solenoidale
\begin{equation}
\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0
\label{elet:sempl-max}
\end{equation}
dove l'eguaglianza (\ref{elet:sempl-max}) non ha validit\`a generale ma
solo in assenza di carica spaziale.

Il flusso del campo $E$ su una superficie $\Sigma$ vale per definizione
\begin{equation}
\Phi (\vec{E}) = \int_\Sigma \vec{E} \cdot \hat{n} \, d\Sigma
\label{elet:flusso-e}
\end{equation}
e sfruttando il \emph{Teorema della Divergenza}, con $\tau$ il bordo
della supefice $\Sigma$, si ottiene
\begin{equation}
\Phi (\vec{E}) = \int_\tau \vec{\nabla} \cdot \vec{E} \, d^3\!r 
= \frac{q_{int}}{\epsilon_0}
\label{elet:legge-gauss}
\end{equation}
che \`e la \emph{Legge di Gauss}.

In presenza di carica spaziale $\rho$, dalle formule
(\ref{elet:sempl-max}) ed (\ref{elet:legge-gauss}) si ricava la
\emph{Legge di Maxwell} per il campo elettrostatico
\begin{equation}
\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
\end{equation}
dove, in questo caso, ha valenza generale.

Prendendo il caso di un dipolo, il momento di dipolo \`e definito come
\begin{equation}
\vec{p}= \vec{r} \, q
\end{equation}
mentre il potenziale dovuto ad un dipolo elettrico
\begin{equation}
V_{\vec{p}}(\vec{r})= \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{4 \pi \epsilon_0 r^2}
= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{p \cos{\theta}}{r^2}
\end{equation}
dove $\theta$ \`e l'angolo formato dal versore $\hat{r}$ ed il momento
di dipolo. Il potenziale risulta essere\`e una quantit\`a scalare.  Il
vettore del campo elettrostatico \`e collegato al potenziale dalla
relazione
\begin{equation}
\vec{E}= - \vec{\nabla} V_{\vec{p}}(\vec{r})
\end{equation}


\section{Distribuzione discreta di cariche}

Supponiamo di avere una distribuzione discreta di cariche $\{q_i\}_i$ in
posizione $\{\vec{r_i}\}_i$ rispetto ad una prefissata origine. Il
potenziale in posizione $\vec{r}$ vale

{\bf DISEGNO}
%correggere

\begin{equation}
V(\vec{r})= \sum_i{\frac{q_i}{4 \pi \epsilon_0 \abs{\vec{r}-\vec{r}_i}}}
\label{elet:potenz-dist-cariche}
\end{equation}
dove per $\vec{r}$ si intende il vettore che collega l'origine con il
punto in cui vogliamo calcolare il potenziale, mentre $\vec{r}_i$ \`e il
vettore che punta alla posizione della carica spaziale i-esima. Il
modulo della differenza dei due vettori vale
\begin{equation}
\begin{split}
\abs{\vec{r}-\vec{r}_i} &= \sqrt{(\vec{r} - \vec{r}_i)^2} \\
&=\sqrt{({\vec{r}}^{\,2} - 2 \vec{r} \cdot \vec{r}_i +
{\vec{r}_i}^{\,2})} \\
&= r \left[ 1 - 2 \frac{\vec{r}\cdot \vec{r}_i}{r^2} + \left(
 \frac{r_i}{r}\right)^2 \right]^\frac{1}{2} \\
&\approx r \left( 1 - 2 \frac{\vec{r}\cdot \vec{r}_i}{r^2}
 \right)^\frac{1}{2}
\label{elet:abs-raggi}
\end{split}
\end{equation}
dove l'ultimo passaggio \`e giustificato se si prende l'origine
sufficentemente vicina a tutte le cariche e se vale che $\abs{\vec{r}_i}
\ll \abs{\vec{r}}$. Sfruttando l'approssimazione dello sviluppo in serie
di Mc-Laurin della radice
\begin{equation}
\sqrt{1 + x} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2)
\end{equation}
si pu\`o ulteriormente approssimare (\ref{elet:abs-raggi})
\begin{equation}
\abs{\vec{r}-\vec{r}_i} \approx r \left(1 + \frac{\vec{r} \cdot
\vec{r}_i}{r^2} \right)
\label{elet:app-abs-raggi}
\end{equation}
Il reciproco di (\ref{elet:app-abs-raggi}) vale
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{1}{\abs{\vec{r}-\vec{r}_i}} &= \frac{1}{r} \left( 1 +
\frac{r \cdot r_i}{r^2} \right)^{-1} \\
&= \frac{1}{r} \left[ 1 + \frac{r \cdot r_i}{r^2} + \Theta \left( \left(
 \frac{r_i}{r} \right)^2 \right) \right]
\label{elet:appr-rec-moduli}
\end{split}
\end{equation}
ottenendo che il potenziale (\ref{elet:potenz-dist-cariche}) si pu\`o
apprissimare con (\ref{elet:appr-rec-moduli}) ottenendo
\begin{equation}
V(\vec{r}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{\vec{r} \cdot
 \vec{p}}{4 \pi \epsilon_0 r^3} + \ldots
\label{elet:potez-appox}
\end{equation}
dove la carica totale $Q$ vale
\begin{equation}
Q = \sum_i q_i
\end{equation}
e
\begin{equation}
\vec{p} = \sum_i p_i = \sum_i \vec{r}_i \, q_i
\label{elet:momento-dip-tot}
\end{equation}
{\bf dove si \`e forzata la definizione di momento di dipolo, nel caso
specifico di una singola carica non \`e corretta la definizione che $p_i
= r_i \, q_i $ in quando il momento di dipolo \`e dato dalle carica per
il vettore che unisce le due cariche, ma questo non vuol dire che una
carica per una distanza \`e un momento di dipolo} (da chiedere al prof!).
%correggere

Il potenziale di una distribuzione discreta di cariche \`e dato dalla
somma della carica totale al centro pi\`u un contributo dato dal momento
di dipolo totale. Quest'ultimo non varia in quanto \`e indipendente dal
particolare $\vec{r}$ considerato, cio\'e la somma
(\ref{elet:momento-dip-tot}) \`e indipendente dal particolare punto
$\vec{r}$ considerato per calcolare il potenziale
(\ref{elet:potez-appox}).


\section{Campo elettrostatico nell'intorno di uno strato superficiale di
 carica}

Ricordiamo le equazioni che caratterizzano il campo elettrico
\begin{equation}
\oint \vec{E} \cdot \, d\vec{s} = 0 \quad , \quad 
\oint \vec{E} \cdot \hat{n} \, d\Sigma = \frac{q}{\epsilon_0}
\end{equation}
che inidicano che il campo \`e solenoidale, la prima, e la legge di
Gauss, la seconda. Da queste equazioni ricaviamo il comportamento del
campo elettrico nel passaggio di una superfice su cui \`e depositata una
certa carica. Il materiale su cui \`e depositata la carica pu\`o essere
indifferentemente un conduttore o un dielettrico, in cui sia presente
una densit\`a superficiale di carica $\sigma$ distribuita sulla
superfice $\Sigma$.

{\bf DISEGNO}

Consideriamo una linea chiusa passante per per i punti $A \ B \ C \ D$,
formanti un rettangolo incidente ed ortogonale alla superfice $\Sigma$:
$AB$ ed $CD$ paralleli e giacenti sulla superfice, $BC$ e $DA$ paralleli
ed ortogonali.

Prendiamo gli incrementi infinitesimali tali che $AB = d\vec{s}_1$ e
$CD=d\vec{s}_2$ e consideriamo i campi elettrici $\vec{E}_1$ e
$\vec{E}_2$ su $AB$ e $CD$. Chiamaiamo $E_{1t}$ e $E_{2t}$ le
componeneti del campo elettrico tangenti (proiezioni) ad $AB$ ed $CD$
rispettivamente.

Vale la relazione
\begin{equation}
\vec{E}_1 \cdot d\vec{s}_1 + \vec{E}_2 \cdot d\vec{s}_2 =
E_{1t} \, ds_1 + E_{2t} \, ds_2  = (E_{1t} - E_{2t}) \, ds = 0
\end{equation}
in quanto la circuitazione del campo elettrico \`e nulla essendo
$\vec{E}$ conservativo. Da cui segue:
\begin{equation}
E_{1t} = E_{2t}
\label{elet:componente-tangenziale}
\end{equation}
le componente tangenziale del campo $\vec{E}$ \`e continua quando si
attraversa una distribuzione superficiale di carica.

Consideriamo ora un intorno di area $d\Sigma$ di un punto della
superfice $d\Sigma$ e sia $\hat{n}$ la normale a tale
superfice. Consierando ora una scatola cilindrica con basi con
egulvalore $d\Sigma_1 = d\Sigma_2 = d\Sigma$ e parallele tra loro, con
altezza tale che la superfice ai lati sia abbastanza grande. Per la
legge di Gauss, la carica contenuta in suddetta scatoletta cilindrica
vale
\begin{equation}
\vec{E}_1 \cdot \hat{n}_1 \, d\Sigma_1 + \vec{E}_2 \cdot \hat{n}_2 \,
 d\Sigma_2 = (E_{2n} - E_{1n}) \, d\Sigma = \frac{\sigma \,
 d\Sigma}{\epsilon_0}
\end{equation}
con $E_{1n}$ e $E_{2n}$ le componenti normali alla superfice, proiezioni
lungo la normle $\hat{n}$ sopra definita. Semplificando si ha
\begin{equation}
\vec{E}_2 - \vec{E}_1 = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \, \hat{n}
\label{elet:discontinuita-e}
\end{equation}
che risulta la versione vettoriale in cui, nel caso precedente, indica
che la componente normale del campo elettrico subisce una
discontinuit\`a pari a $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ nell'attraversamento
della superfice.

La valenza di (\ref{elet:discontinuita-e}) ha valore di carattere
locale, non \`e detto che la densit\`a $\sigma$ sia costante sulla
superfice cos\`i come i campi $\vec{E}_1$ e $\vec{E}_2$, essendo dovuti
alla carica superficiale, possono variare (modulo, direzione, verso) al
variare del punto della superfice $\Sigma$ considerato.